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Thema: Extremalprobleme.

  1. #1
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    Standard Extremalprobleme.

    Probleme trifft es gut .__.
    Ich hab gerade ganz große Probleme mit meinen Mathehausaufgaben... die ersten habe ich selber einigermaßen gelöst, aber so langsam lässt meine Konzentration nach und ich muss sie bis heute fertig haben... >_>
    Wäre nett, wenn sie jemand für mich lösen könnte...

    1. Welche quadratische Säule mit der Oberfläche 150dm2 (quadratdezimeter) hat den größten Rauminhalt? Wie groß ist dieser?

    2. Gegeben ist die Funktion f (x) = 2/x2 (x zum Quadrat). Gesucht ist der maximale Flächeninhalt eines Rechtecks, das einen Punkt im Koordinatenursprung hat und einen weiteren auf dem Graphen der Funktion. Die Seiten des Rechtecks liegen auf den Koordinatenachsen bzw. parallel dazu.

    3. An einen Stall, der eine Länge von 10 m hat, soll ein Gehege für Tiere angebaut werden. Zum Bau stehen 24 m Zaun zur Verfügung. Welche Abmessungen muss das Gehege haben, damit die Tiere möglichst viel Platz haben?
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  2. #2
    Bandit
    Gast

    Standard AW: Extremalprobleme.

    Du hast kein Problem mit deiner Konzentration, sondern dein google schein kaputt zu sein. Gibt man nämlich die Fragen dort ein, bekommt man auch Antworten. Sollte dein google nicht kaputt sein, dann bist du einfach nur zu faul.

    Und früh fängst du damit dann, wenn du das morgen brauchst.

  3. #3
    König(in) Avatar von NyctalusNoctula
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    Standard AW: Extremalprobleme.

    gib mal dienen ansatz preis und erklär wo genau du nicht weiter weißt, dann bin ich gerne bereit zu helfen.

  4. #4
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    Standard AW: Extremalprobleme.

    Formel für die zu maximierende Größe suchen, ableiten, Nullstelle nehmen, fertig...

  5. #5
    Unregistriert
    Gast

    Standard AW: Extremalprobleme.

    @ NyctalusNoctula: Kann ich probieren die Aufgabe zu lösen und du sagst mir dann was ich falsch gemacht habe?
    Und da habe ich noch eine allgemeine Frage: Muss es eigentlich immer eine Nebenbedingung geben?

  6. #6
    König(in) Avatar von NyctalusNoctula
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    Standard AW: Extremalprobleme.

    ja, ich kann dir dann sagen, was du falsch machst, oder wie es weiter geht.
    Nunja, ob es ne Nebenbedingung gibt hängt ganz von der Aufgabenstellung ab. Aber meistens brauchst du eine, sonst kannst du eben nicht maximieren. Du brauchst ja irghendwoher ne 2. Gleichung um eine deiner beiden Variablen (in deinem fall hast du ja immer 2) rauszuschmeißen aus zu maximierenden Gleichung. Ne gleichung mit 2 Variablen kannst ja nicht maximieren. Da hast dann zu wenig Information.

    Die Vorgehensweise ist eigentlich immer die Gleiche. du stellst die die Gleichung auf, die maximiert werden soll (zum Beispiel Flächeninhalt oder Volumen oder was auch immer)
    Dann bastelst dir aus der Nebenbedingung die 2. Gleichung mit den beiden gleichen Variablen.
    Nun setzt du die 2. Gleichung in die 1. ein
    dann kannst das Maximum oder Minumum der 1. Gleichung unter der gegebenen Nebenbedingung bestimmen, indem du eben durch ableiten den Hoch- oder Tiefpunkt suchst.
    Geändert von NyctalusNoctula (23.06.2009 um 14:24 Uhr)

  7. #7
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    Standard AW: Extremalprobleme.

    Okay, danke

    Zu 1.:
    Mich irritiert die quadratische Säule, weil Säulen für mich eigentlich immer rund sind. Da fängt es dann eigentlich bei mir an, ob ich jetzt nach den Gleichungen einer Kugel oder eines Würfels schauen muss.

    Zu 2.:
    Okay, Flächeninhalt eines Rechtecks ist ja ganz einfach, a x b. Wenn ich mir die Aufgabe durchlese, liegt die untere Seite des Rechtecks für mich auf der x-Achse und die Seiten links und rechts sind dann halt parallel zur y-Achse. Allerdings weiß ich da gar nicht wie ich anfangen soll, weil ich nicht mehr weiß wie der Graph von der Funktion 2/x2 (x zum Quadrat) aussieht. Wie man dann auch noch die Seiten ausrechnen soll, ist mir somit dann auch nicht erschlossen.

    Zu 3.:
    Also der Stall von 10m muss dann ja die Seite a des Rechtecks sein (also vom Gehege). Na ja, und b müsste dann doch eigentlich jeweils sieben Meter sein, weil 10m von 24m gehen für die andere a Seite drauf und dann bleiben noch 14m. Für zwei Seiten sind es dann sieben. Somit wäre für mich die Aufgabe fertig xD Aber das ist wahrscheinlich nicht das was gesucht wird.

    Und das ist eigentlich mein Hauptproblem, dass ich nicht erkennen kann wo Nebenbedingung und Hauptbedingung zu finden sind.

  8. #8
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    Standard AW: Extremalprobleme.

    zur Anschauung Aufgabe 1:
    Aufgabe: du sollst den Rauminhalt maximieren
    Ohne weitere Angaben ist der Rauminhalt maximiert, wenn die Seiten alle unendlich lang sind. Also die Säule unendlich groß. Darum brauchst du ne nebenbedingung. Dies ist in diesem Falle die Oberfläche, da diese fest vorgegeben ist.

    quadratische Säule heißt für mich, dass der Körper ein Rechteck ist.
    Demnach stellst du deine 2 Gleichungen folgendermaßen auf:

    Gleichung 1: V = a*a*h soll maximiert werden
    Bedingung: A = 2*a² + 4*a*h (Oberfläche beschränkt das Volumen)
    Du weißt noch, dass A=150dm² ist

    also löst du A nach h auf: h = (150dm² - 2*a²) / 4*a
    dies wird nun in Gleichung 1 eingesetzt um h aus der Gleichung rauszuschmeißen.
    dann erhälst du:
    V = A*a/4 - 2*a^3/4
    diese Gleichung musst du nun maximieren. Das heißt den Hochpunkt bestimmen. Den Hochpunkt bestimmst du durch Nullsetzen der 1. Ableitung.

    Als Ergebnis sollte rauskommen, dass a=h ist. Das heißt der Würfel das "Rechteck" mit dem größten Volumen bei konstanter Oberfläche ist.

    Versuch das mal selbst zu rechnen.

    Aufgabe 2 läuft nach dem gleichen Schema ab. Bei weiteren Unkalrheiten einfach fragen, aber vorher selbst überlegen.

    Hinweis zu Aufgabe 3: Der Zaun kann auch breiter als der Stall sein. Dann ist eben der Stall ein Teil einer Seite des Zauns. Dies musst du bei der Berechnung des Umfangs (Zaunlänge) berücksichtigen. Im Prinzip kannst du einfach dienen Zaun um die Länge des Stalles länger annehmen.
    Geändert von NyctalusNoctula (24.06.2009 um 21:05 Uhr)

  9. #9
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    Standard AW: Extremalprobleme.

    Eine Säule ist ein verallgemeinertes Prisma, dessen Grundfläche nicht unbedingt ein Polygon sein muss...

  10. #10
    Unregistriert
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    Standard AW: Extremalprobleme.

    Danke schön, ich geb mein Bestes

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